题目内容

1.已知命题P:?b∈(-∞,2),f(x)=x2+bx+c在(-∞,-1)上为减函数;命题Q:?x0∈Z,使得2x0<1.则在命题¬P∨¬Q,¬P∧¬Q,P∨¬Q,P∧¬Q中任取一个命题,则取得真命题的概率是14

分析 命题P:f(x)=x+b22+c-b24,?b∈(-∞,2),其对称轴为x=-b2>-1,且开口向上,即可得出f(x)在(-∞,-1)上为减函数,即可判断出命题P的真假;对于命题Q:又由2x0<1,利用指数函数的性质可得解得x0<0,取x0=-1∈Z,满足条件,即可判断出命题Q真假,再利用复合命题真假的判定方法可得:在命题¬P∨¬Q,¬P∧¬Q,P∨¬Q,P∧¬Q中,只有P∨¬Q是真命题,再利用古典概率计算公式即可得出.

解答 解:命题P:?b∈(-∞,2),f(x)=x2+bx+c=x+b22+c-b24,其对称轴为x=-b2>-1,
且开口向上,∴f(x)=x2+bx+c在(-∞,-1)上为减函数,∴命题P正确;
对于命题Q:又由2x0<1,解得x0<0,∴?x0=-1∈Z,满足条件,∴命题Q也正确.
在命题¬P∨¬Q,¬P∧¬Q,P∨¬Q,P∧¬Q中,只有P∨¬Q是真命题,其余都是假命题,
故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是14
故答案为:14

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、古典概率计算公式,考查了推理能力,属于中档题.

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