题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
和
,离心率是
,直线
过点
交椭圆于
,
两点,当直线
过点
时,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当直线绕点
运动时,试求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)椭圆的标准方程为
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合椭圆的定义可知的周长为
,
,结合离心率可知
,
,则椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)设,
两点坐标分别为
,
,当直线
与
轴重合时,
,当直线
与
轴重合时,
,当直线
斜率为
时,
,当直线
斜率存在且不为
时,联立直线方程与椭圆方程可得
,则
,
,结合韦达定理整理计算可得不等式
,解得
,则
.
试题解析:
(Ⅰ)∵的周长为
,
∴,
又,∴
,∴
,
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设,
两点坐标分别为
,
,
当直线与
轴重合时,
点与上顶点重合时,
,
当直线与
轴重合时,
点与下顶点重合时,
,
当直线斜率为
时,
,
当直线斜率存在且不为
时,不妨设直线
方程为
,
联立,
得,
则有,①
②
设,则
,代入①②得
③
④
∴
,
即,解得
,
综上,
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练习册系列答案
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组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.