题目内容
【题目】已知.
(1)若方程在上有实数根,求实数的取值范围;
(2)若在上的最小值为,求实数的值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:⑴化简方程,令求导,算出单调性,转化为函数与在有交点,利用斜率求得参量取值范围(2)求导,分别讨论、、
三种情况的最小值,求解符合题目的参数的值
解析:(1)方程可化为,
令,
则 ,
由可得,由可得,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴的极小值为,而, ,
要使方程在上有实数根,
只需使得函数与在有交点,
∵点与连线的斜率为,
点与连线的斜率为,且,
∴结合图像可得时,函数与有交点.
∴方程在上有实数根时,
实数的取值范围是
(2)由可得,
①若,则在上恒成立,即在单调递减,
则的最小值为,故,
满足;
②若,则在上恒成立,即在单调递增,
则的最小值为,故,不满足,舍去;
③若,则时, ; 时, .
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴的最小值为 ,即.
令,则,
∴在上单调递增,∴,
,而,故不可能成立.
综上可知,实数的值为.
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