题目内容

【题目】2018海南高三阶段性测试(二模)如图,在直三棱柱中, ,点的中点,点上一动点.

I)是否存在一点,使得线段平面?若存在,指出点的位置,若不存在,请说明理由.

II)若点的中点且,求三棱锥的体积.

【答案】I)见解析(II

【解析】试题分析:

1)存在点,且的中点.连接 由三角形中位线的性质可得结合线面平行的判定定理可得平面

2由题意结合勾股定理可求得.以点为坐标原点, 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,可得平面的一个法向量为,平面的一个法向量为据此计算可得二面角的正弦值为

试题解析:

1)存在点,且的中点.证明如下:

如图,连接 ,点 分别为 的中点,

所以的一条中位线,

平面 平面,所以平面

2)设,则

,得,解得

由题意以点为坐标原点, 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得

为平面的一个法向量,则

,得平面的一个法向量

同理可得平面的一个法向量为

故二面角的余弦值为

故二面角的正弦值为

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