题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
【答案】(1);(2)直线l的方程为x=1.
【解析】试题分析:(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解;(2) 联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.
试题解析:(1)因为抛物线y2=4x的焦点为(
,0),所以椭圆C的半焦距c=
,即a2-b2=3. ①
把点Q代入
+
=1,得
+
=1. ②
由①②解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=ty+1,代入+y2=1,
得(t2+4)y2+2ty-3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-
.
则|y1-y2|==
=
=
=
.令
=m(m≥
).易知函数y=m+
在[
,+∞)上单调递增,
则+
≥
+
=
,当且仅当m=
,即t=0时,取等号.
所以|y1-y2|≤.所以△AMN的面积S=
|AP||y1-y2|≤
×3×
=
,
所以Smax=,此时直线l的方程为x=1.
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