题目内容

【题目】已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表,

x

﹣1

0

4

f(x)

1

2

2

f(x)的导函数y=f′(x)的图象(该图象关于(2,0)中心对称) 如图所示.
下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)的极大值点为 0与4;
②函数f(x)在[0,2]上是减函数;
③函数y=f(x)﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个;
④如果当时x∈[﹣1,t],f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5;.
⑤函数f(x)的图象在a=1是上凸的
其中一定正确命题的序号是

【答案】①②④
【解析】①②④解:对于①,∵由导函数的图象知,函数f(x)的最大值点为0与4,故①正确;
对于②,由已知中y=f′(x)的图象可得在[0,2]上f′(x)<0,即f(x)在[0,2]是减函数,即②正确;
对于③,由导函数y=f′(x)的图象可知,函数在[﹣1,0],[2,4]上为增函数,
则[0,2],[4,5]上为减函数,且函数在x=0和x=4取得极大值f(0)=2,f(4)=2,
在x=2取得极小值f(2)=0,则函数f(x)的大致图象如图:则函数y=f(x)与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个,即③错误
对于④,由已知中y=f′(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值为5,即④正确;
对于⑤,根据函数f(x)的大致图象,判断⑤错误;
所以答案是:①②④.

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点,需要掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系才能正确解答此题.

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