Question

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{4}{5}$，若BC=10，D为AB的中点，则CD=$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理可得：b，c，再利用中线长定理即可得出．

解答 解：如图所示，
∵cosB=$\frac{4}{5}$，B∈（0，π），
∴$sinB=\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
sinC=sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，∴$b=\frac{10×\frac{3}{5}}{sin\frac{π}{4}}$=6$\sqrt{2}$，c=$\frac{10×\frac{7\sqrt{2}}{10}}{sin\frac{π}{4}}$=14．
由中线长定理可得：a²+b²=2CD²+$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
∴$1{0}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}$=2CD²+$\frac{1}{2}×1{4}^{2}$，
解得CD=$\sqrt{37}$．
故答案为：$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了正弦定理、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．