Question

16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，$f（x）=9x+\frac{a^2}{x}+7$，若f（x）≥0对一切x≥0成立，则a的取值范围为{a|a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$}．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，$f（x）=9x+\frac{a^2}{x}+7$，
∴当-x＜0时，f（-x）=-9x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7，
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-9x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7=-f（x），
即f（x）=9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7，x＞0，
当x=0时，f（0）=0，满足f（x）≥0，
则当x＞0时，f（x）=9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥2$\sqrt{9x•\frac{{a}^{2}}{x}}$-7=6|a|-7，x＞0，
若f（x）≥0对一切x≥0成立，
则6|a|-7≥0，
即|a|≥$\frac{7}{6}$，
解得a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$，
故答案为：{a|a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$}

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．