题目内容
17．已知函数f（x）=2x+sinx，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2+6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立，则x2+y2的取值范围是[9，49]．分析 由函数解析式可得函数的奇偶性与单调性，把不等式f（x2+6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立转化为（x+3）2+（y-4）2＜2恒成立，然后利用x2+y2的几何意义求得其取值范围．
解答 解：∵f（x）=2x+sinx，其定义域为R，
且f（-x）=-2x+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
∴f（x）为实数集上的奇函数；
又f′（x）=2+cosx＞0在实数集上恒成立，∴f（x）为实数集上的增函数．
则由f（x2+6x+21）+f（y2-8y）＜0，得f（x2+6x+21）＜f（-y2+8y），
即x2+6x+21＜-y2+8y，∴（x+3）2+（y-4）2＜2．
设M（x，y），M表示以（-3，4）为圆心，2为半径的圆内的任意一点，
则x2+y2表示在圆内任取一点与原点的距离的平方，
∴（5-2）2≤x2+y2≤（5+2）2，即9≤x2+y2≤49．
故答案为：[9，49]．
点评 本题考查了函数奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现数形结合、转化与化归思想在解题中的应用，是中档题．
练习册系列答案
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（1）求利润额y对销售额x的回归直线方程；
（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
提示：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{x}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
| 商店名称 | A | B | C | D | E |
| 销售额x（千万元） | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
| 利润额y（千万元） | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
提示：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{x}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．