Question

19．设x，y，z为正数，且xyz=1，求证：1＜$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$＜2．（提示：换元x=$\frac{a}{b}$，y=$\frac{b}{c}$，z=$\frac{c}{a}$）

Answer 1

分析 由条件可设x=$\frac{a}{b}$，y=$\frac{b}{c}$，z=$\frac{c}{a}$，$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$，将分母变为a+b+c，分子不变，可证大于1，再由分子分母同时加一个数，分数值变大，可证小于2．

解答 证明：由x，y，z为正数，且xyz=1，
可设x=$\frac{a}{b}$，y=$\frac{b}{c}$，z=$\frac{c}{a}$，
则$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＞$\frac{a}{a+b+c}$+$\frac{b}{a+b+c}$+$\frac{c}{a+b+c}$=1，
又$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜$\frac{a+c}{a+b+c}$+$\frac{a+b}{a+b+c}$+$\frac{b+c}{a+b+c}$=2，
即有1＜$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$＜2．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法证明不等式的方法，运用换元法是解题的关键，属于中档题．