题目内容
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
(1);(2);(3).
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问,对求导,将切点的横坐标代入得到切线的斜率,再将切点的横坐标代入到中,得到切点的纵坐标,利用点斜式得到切线的方程;第二问,在定义域内是增函数,只需在恒成立,对求导,由于分母恒正,只需分子在恒成立,设函数,利用抛物线的性质求出,令即可,解出P的值;第三问,先通过函数的单调性求出的值域,通过对P的讨论研究的单调性,求出的值域,看是否有值大于的最小值为2.
(1)当时,函数,.
,曲线在点处的切线的斜率为.
从而曲线在点处的切线方程为,即.…4分
(2).
令,要使在定义域内是增函数,只需在内恒成立.
由题意,的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为,∴, 只需,即时,
∴在内为增函数,正实数的取值范围是.……9分
(3)∵在上是减函数,
∴时,;时,,即,
①当时,,其图象为开口向下的抛物线,对称轴在轴的左侧,且,所以在内是减函数.
当时,,因为,所以,,
此时,在内是减函数.
故当时,在上单调递减,不合题意;
②当时,由,所以.
又由(2)知当时,在上是增函数,
∴,不合题意;
③当时,由(2)知在上是增函数,,
又在上是减函数,故只需,,
而,,
即,解得,
所以实数的取值范围是. 14分
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