Question

16．定义域为R的偶函数f（x）的最小正周期是π，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx．
（1）求x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）在[-π，π]上的简图．

Answer 1

分析 （1）首先取x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，得到-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，把-x代入x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的解析式，结合偶函数的概念可求得x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时的解析式，然后再取x∈[$\frac{π}{2}$，π]，加-π后得到x-π∈[0，$\frac{π}{2}$]，代入x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的解析式，结合周期函数的概念求解f（x）；
（2）作出函数在[-π，0]上的图象，根据偶函数图象关于y轴轴对称得到函数在[0，π]上的图象；

解答 解：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
而当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx，
所以x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，x-π∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
因为f（x）的周期为π，所以f（x）=f（x-π）=sin（x-π）=-sinx．
所以当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时f（x）=-sinx．
（2）函数图象如图，

点评 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了三角函数的周期及图象，考查了三角函数的奇偶性，解答此题的关键是，通过周期变换和平移变换、把要求解解析式的范围内的变量转化到已知解析式的范围内，此题是中档题．