题目内容
5．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），且f（$\frac{1}{2}$a+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜α＜$\frac{7π}{4}$．（1）求cosα；
（2）求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$．
分析 （1）直接利用函数值列出方程，求出$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，利用两角和与差的三角函数求解即可．
（2）求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
解答 解：（Ⅰ）$f（\frac{1}{2}α+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（2（\frac{1}{2}α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$．
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$，
∵$\frac{17π}{12}＜α＜\frac{7π}{4}$，∴$\frac{5π}{3}＜α+\frac{π}{4}＜2π$，
又∵$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$，∴$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$
∴$\begin{array}{c}cosα=cos[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=cos（α+\frac{π}{4}）cos\sqrt{2}\frac{π}{4}+sin（α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}\\ \begin{array}{\;}\end{array}\right.\end{array}\right.$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}+（-\frac{4}{5}）•\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$…（6分）
（Ⅱ）同理（Ⅰ），$sinα=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，∴$sin2α=2sinαcosα=\frac{7}{25}$，$tanα=\frac{sinα}{cosα}=7$，
∴原式=$\frac{{\frac{7}{25}+2•{{（-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}）}^2}}}{1-7}=-\frac{28}{75}$…（13分）
点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
