Question

【题目】(本小题满分10分)[选修4-4,极坐标与参数方程选讲]

在直角坐标系x0y中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为p=4sin9

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(Ⅱ)已知曲线C3的极坐标方程为=α,(0<α<x,p∈R),点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求实数α的值

Answer 1

【答案】(Ⅰ) x2 + (y -2 )2 =4.

( Ⅱ ) α =.

【解析】分析：第一问利用同角的正余弦平方和等于1，对曲线进行消参，得到其普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系，求得曲线的直角坐标方程，对于第二问将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程，从中利用极坐标中极径分几何意义，从而求得结果.

详解：(Ⅰ)由曲线 C1 的参数方程为(φ为参数)

消去参数得曲线 C1 的普通方程为(x-2)2 +y2 =4.

又曲线 C2 的极坐标方程为ρ=4sinθ , ∴ρ2 =4ρsinθ ,

∴ C2 的直角坐标方程为 x2 +y2 =4y ,整理得:x2 + (y -2 )2 =4.

( Ⅱ )曲线 C1 :(x -2 )2 +y2 =4 化为极坐标方程为ρ=4cosθ

设 A (ρ1 ,α1 ), B (ρ2 ,α2 ),又曲线 C3 的极坐标方程为θ=α ,0< α < π ,

ρ∈R ,点 A是曲线C3 与 C1 的交点,B是曲线 C3 与C2 的交点,且均异于原点O ,且 | AB |=4 ,

∴| AB |=|ρ1- ρ2 |=|4sinα-4cosα|=4|sin (α-)|=4 ,

∴sin (α-)=±1 ,又0<α<π , ∴- <α- <, ∴ α - =

解得 α =.