题目内容
【题目】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域．
（I）求考察区域边界曲线的方程：
（II）如图4所示，设线段
是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
【答案】（I）
；（II）5年
【解析】
解：（I）设边界曲线上点
的坐标为
，则由
知，
点在以
为焦点，长轴长为
的椭圆上，此时短半轴长为
，
所以考察区域边界曲线(如图)的方程为为.
（II）易知过点
的直线方程为
，因此点
到直线
的距离为
设经过
年，点恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
，
解得
，即经过5年，点恰好在冰川边界线上.
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