题目内容
【题目】已知数列满足:
.
(1)写出数列的前6项的值;
(2)猜想数列与
的单调性,选择一种情形证明你的结论.
【答案】(1),
,
,
,
,
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由已知得,由此依次求得
;
(2)由归纳法得出数列与
的单调性,并用数学归纳法证明.
(1)∵,∴
,
∴,
,
,
,
,
(2)由(1) 结论:是递增数列,
是递减数列.
由,得
,由
知数列
是正项数列,
①证是递增数列,即证
对一切正整数
恒成立,
(i)显然,即
时,不等式成立,
(ii)假设时,不等式成立,即
,∴
,则
,
,即
,
易知函数在
上是增函数,
∴,
∴,
∵,∴
,即
,
∴时,不等式成立,
综合(i)(ii)可知对一切正整数,
成立,即
是递增数列.
②证是递减数列,即证
对一切正整数
恒成立,
(i)显然,即
时,不等式成立,
(ii)假设时,不等式成立,即
,∴
,则
,
,(
舍去),
易知函数在
上是增函数,
∴,
∴,
∵,∴
,即
,
∴时,不等式成立,
综合(i)(ii)可知对一切正整数,
成立,即
是递减数列.

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