题目内容
【题目】中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔(单位:分钟)满足
,
,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔
相关:当
时高铁为满载状态,载客量为1000人;当
时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与
成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为
分钟时,高铁载客量为
.
(1)求的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益
(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益
最大?
【答案】(1),(2)发车时间间隔为10分钟时,
最大.
【解析】
(1)当时,设
,代入数据计算
,得到解析式.
(2)考虑和
两种情况,计算
的解析式,求导得到函数单调性,计算最值得到答案.
(1)当时,不妨设
,
,
解得,因此
.
(2)当时,
,
因此,
.
因为,当
时,
,
单增;
当时,
,
单减,所以
.
当时,
,
因此,
.
因为,此时
单减,所以
,
综上,发车时间间隔为10分钟时,最大.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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