Question

【题目】设四点均在双曲线的右支上.

（1）若（实数），证明：（O是坐标原点）；

（2）若，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1

【解析】

（1）由，得

当直线AB的倾斜角为90°时，设其方程为设，则，且点满足 同理=1，则.

设直线AB的方程为

联立方程得整理为

①

故 ②

③

则 由，知直线AB与直线CD的斜率相等.同理， 所以，.

（2）由，平方得

将式②、③代入得 ④

由，知，而使方程①的判别式成立.设于是，

， ⑤

. ⑥

因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，四边形是矩形，其面积S等于点P到渐近线距离的乘积.于是，将式⑤、⑥代入上式得由式④得又，则，即直线AB的斜率存在时，所求四边形的面积

当直线AB斜率不存在时，由，知点，则四边形的面积

综上，四边形面积的最大值为1.