题目内容
【题目】对于正整数
，如果
个整数
满足
，
且
，则称数组
为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为
均为奇数的“正整数分拆”的个数为
.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数
，设是的一个“正整数分拆”，且
，求
的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:
;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与
，当且仅当
且
时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) 
，
，
，
，
；(Ⅱ) 
为偶数时，
，为奇数时，
；(Ⅲ)证明见解析，
，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，
最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，
，至少存在一个全为1的拆分，故
，当为偶数时，
根据对应关系得到
，再计算
，
，得到答案.
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，
时，最大为；
当为奇数时，
时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设
是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了
和
的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为
，奇数“正整数分拆”为
，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当
时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为
的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使
成立的为：或.
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