Question

【题目】已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．

（I）若，试写出所有可能的A，B；

（II），证明：

（i）；

（ii）三个数中至少有一个是偶数；

（III）设，中有m（，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：．

Answer 1

【答案】（I）；；；

（II）（i）见解析（ii）见解析

（III）见解析

【解析】

（I）根据定义，结合即可确定所有可能的A，B；

（II）（i）由，令，讨论和即可代入绝对值式子化简，即可证明；（ii）设，，，，，．记，设t是使成立的i的个数，

结合（i）中的结论可得，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，得证.

（III）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，则可得，根据P为奇数可得，因而，即可证明不等式成立.

（I）根据定义及，可知有以下四种情况：

；；

；

（Ⅱ）令，

（i）证明：对，

当时，有，

当时，有．

所以

．

（ⅱ）证明：

设，，，

，，．

记，由（I）可知，

，

，

，

所以中1的个数为k，

的1的个数为l．

设t是使成立的i的个数，则．

由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，

即三个数中至少有一个是偶数．

（Ⅲ）记为P中所有两个元素间距离的总和，

设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，

则．

因为m为奇数，所以,

且或时，取等号．

所以．

所以．