题目内容
【题目】如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,
为直角,
平面
,
,且
.
(1)求证:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据平面
,得到
,根据勾股定理得到
,从而得到
平面
,再得到
;(2)以A为原点,建立空间直角坐标系,得到平面
的法向量
,平面
的法向量
,根据向量夹角公式,从而得到求二面角
的余弦值.
解:(1)证明:∵平面
,
平面
,∴
.
∵,且
,
∴,
∴,
∴,即
.
又,
平面
∴平面
.
又平面
,
∴.
(2)如图,过点A作垂直
于点F,由(1)知,
.
又,
∴两两垂直,
∴以A为坐标原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,
则,
∴.
设平面的法向量
,
由得
∴取.
设平面的法向量
,
由得
∴取.
设二面角的平面角为
,
则,
由图可知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
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