题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),将
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
和
倍后得到曲线
.以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)试写出曲线的极坐标方程与曲线
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最小,并求此最小值.
【答案】(1),
(
为参数);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据 将曲线
的参数方程化为普通方程:
,再根据
将直角坐标方程化为极坐标方程
;由图像变换可得曲线
的参数方程是
(2)先根据
将直线
化为直角坐标方程
,再根据点到直线距离公式得
,利用三角函数有界性确定函数最小值,并确定取最小值时
的值,进而确定点
坐标.
试题解析:(1)由已知得曲线的直角坐标方程是
,
所以曲线的极坐标方程是
.
根据已知曲线的参数方程
伸缩变换得到曲线
的参数方程是
(
为参数).
(2)设,由已知得直线
的直角坐标方程是
,
即,所以点
到直线
的距离
,
当即
时,
,此时点
的坐标是
,
所以曲线上的一点
到直线
的距离最小,最小值是
.
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