题目内容
【题目】设椭圆
的右焦点为
，离心率为
，过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
上存在两点
，椭圆
上存在两个点
满足： 
三点共线， 
三点共线且
，求四边形
的面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由条件可得
，又
，因此解方程组可得
．（2）由于
，所以
，因此利用韦达定理及弦长公式可得
及
（用直线
斜率表示），代入面积公式可得关于直线
斜率的函数关系式，根据斜率取值范围可得面积最值，注意讨论直线
斜率不存在的情形.
试题解析：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
.
∴
，
∵离心率为
，∴ 
，
解得
．
∴椭圆的方程为 
（2）当直线
斜率不存在时，直线
斜率为0，
此时
当直线
斜率存在时，直线
，
联立
得
，则
∴
由
可设直线
: 
，
联立椭圆消去
得， 
∴
∴
,令
则
综上， 
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