Question

11．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，AP=AC，E为PC的中点．求证：
（1）BC⊥平面PAC；
（2）AE⊥平面PBC；
（3）AE⊥PB．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC可证PA⊥BC，又∠ACB=90°，即可证明BC⊥平面PAC；
（2）由（1）可证BC⊥AE，又AP=AC，E为PC的中点．可证AE⊥PC，即可证明AE⊥平面PBC．
（3）由（2）知AE⊥平面PBC，PB?平面PBC，即可证明AE⊥PB．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴由PA∩AC=A，可得BC⊥平面PAC；
（2）∵由（1）知BC⊥平面PAC，AE?平面PAC，
∴BC⊥AE，
又∵AP=AC，E为PC的中点．
∴AE⊥PC，
∴又PC∩BC=C，可得：AE⊥平面PBC．
（3）∵由（2）知AE⊥平面PBC，PB?平面PBC．
∴AE⊥PB．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．