题目内容
16.如图,正万形ABCD的边长为2,M,N分别为边BC、CD上的动点,且∠MAN=45°,则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值为( )A. | 4($\sqrt{2}$-1) | B. | 8($\sqrt{2}$-1) | C. | 4 | D. | 4$\sqrt{2}$ |
分析 设∠BAM=θ,0<θ<$\frac{π}{4}$,分别由解直角三角形可得AM,AN的长,再由向量的数量积的定义,结合三角函数的恒等变换公式,以及余弦函数的最值,即可得到所求最小值.
解答 解:设∠BAM=θ,0<θ<$\frac{π}{4}$,
在直角△ABM中,AM=$\frac{2}{cosθ}$,
在直角△ADN中,AN=$\frac{2}{cos(\frac{π}{4}-θ)}$,
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{AN}$|cos$\frac{π}{4}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθcos(\frac{π}{4}-θ)}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos\frac{π}{4}+cos(2θ-\frac{π}{4})}$
=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cos(2θ-\frac{π}{4})}$,
当2θ-$\frac{π}{4}$=0,即θ=$\frac{π}{8}$时,cos(2θ-$\frac{π}{4}$)取得最大值1,
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值为$\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8($\sqrt{2}$-1).
故选:B.
点评 本题考查向量的数量积的定义,考查三角函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题.
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