Question

19．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+3）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数便知，f（x）的定义域关于原点对称，从而求出定义域为（-3，a），从而得出a=3；
（2）得出f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{3-x}{x+3}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（-1+\frac{6}{x+3}）$，根据-3＜x＜3便可得出$\frac{1}{x+3}$的范围，进一步得出$-1+\frac{6}{x+3}＞0$，这样根据对数函数的值域便可得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）为奇函数，∴定义域关于原点对称；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{a-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$得，-3＜x＜a；
∴a=3；
（2）$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{3}}（3-x）-lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+3）$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{3-x}{x+3}=lo{g}_{\frac{1}{3}}（-1+\frac{6}{x+3}）$；
∵-3＜x＜3；
∴0＜x+3＜6，$\frac{1}{x+3}＞\frac{1}{6}$；
∴$-1+\frac{6}{x+3}＞0$；
∴f（x）的值域为R．

点评 考查奇函数的定义，奇函数的定义域的特点，对数的运算，分离常数法的运用，以及对数函数的值域．