Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），P为椭圆C上任一点，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值为1，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 由题意可得c，设出P（m，n），求得向量PF₁，PF₂的坐标，由数量积的坐标表示，化简结合两点的距离公式，即可得到最大值，进而求得a=2，b=1，即可得到椭圆方程．

解答 解：由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
设P（m，n），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=m²+n²-3，
由P在椭圆上，可得P为椭圆的长轴的端点时，取得最大值．
即有a²-3=1，解得a=2，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查向量的数量积的坐标表示和m²+n²的几何意义，属于中档题．