Question

6．锐角△ABC中：
①sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
②tanAtanB＞1
③sin²A+sin²B+sin²C＞$\frac{3}{2}$
④sinA+sinB≥$\sqrt{2}$
其中一定成立的有①②③（填序号）

Answer 1

分析 利用锐角△ABC这个条件得A+B＞$\frac{π}{2}$，结合三角函数的单调性比较sinA与cosB大小即可．然后判断①的正误；
利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），判断出tan（A+B）小于0，然后推出tanAtanB＞1．判断②的正误；
利用二倍角的余弦函数以及和差化积公式，锐角三角形的角的大小，判断三角函数值的符号，推出结果判断③的正误．
利用特殊角判断④的正误；

解答 解：对于①，∵△ABC是锐角三角形，A+B＞$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0
∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B），即sinA＞cosB；
同理sinB＞cosC；sinC＞cosA，
∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC．所以①正确；
对于②，因为△ABC是锐角三角形，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
则A+B∈（$\frac{π}{2}$，π），
即C为锐角，所以tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＜0，
得到1-tanAtanB＜0，
所以tanAtanB＞1，所以②正确；
对于③，∵cos2A+cos2B+cos2C+cos2A+cos2B+cos2C
=（cos2A+cos2B）+（cos2B+cos2C）+（cos2A+cos2C）=2[cos（A+B）cos（A-B）+cos（B+C）cos（B-C）+cos（A+C）cos（A-C）]
∵锐角三角形ABC∴A+B＞$\frac{π}{2}$，C+B＞$\frac{π}{2}$，A+C＞$\frac{π}{2}$
-$\frac{π}{2}＜$A-B$＜\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}＜$B-C$＜\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}＜$A-C$＜\frac{π}{2}$
所以cos（A+B）＜0，cos（A-B）＞0 依此cos（A+B）cos（A-B）＜0 同此cos（B+C）cos（B-C）＜0，cos（A+C）cos（A-C）]＜0
∴cos2A+cos2B+cos2C=$\frac{1}{2}$[（cos2A+cos2B）+（cos2B+cos2C）+（cos2A+cos2C）]
=2[cos（A+B）cos（A-B）+cos（B+C）cos（B-C）+cos（A+C）cos（A-C）]＜0
∴cos2A+cos2B+cos2C＜0，
可得3-2sin²A-2sin²B-3sin²C＜0，
即：sin²A+sin²B+sin²C＞$\frac{3}{2}$．
所以③正确．
对于④，当A=B=$\frac{π}{4}$时，sinA+sinB=$\sqrt{2}$，此时三角形是直角三角形，不满足题意，所以④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查锐角三角形的性质，诱导公式、两角和的正切函数、二倍角的余弦函数以及和差化积公式的应用，三角函数的值的符号的判断，以及不等式的基本性质，难度比较大．