Question

20．已知实数x，y满足：y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）．
（1）求m=$\frac{y}{x+3}$的取值范围；
（2）求b=2x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出曲线对应的图象，m=$\frac{y}{x+3}$的几何意义为半圆上的点到定点C（-3，0）的斜率，利用直线和圆的位置关系进行求解即可；
（2）由b=2x+y得y=-2x+b，利用b的几何意义以及线和圆的位置关系进行求解即可．

解答 解：由y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）．
得y-1=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（-2≤x≤2）．
平方得x²+（y-1）²=4，（-2≤x≤2）．
对应的图象是以（0，1）为圆心，半径R=2的上半圆．
（1）m=$\frac{y}{x+3}$的几何意义为半圆上的点到定点C（-3，0）的斜率，
由图象知当AC的斜率最小，此时A（2，1）．m=$\frac{1}{2+3}$=$\frac{1}{5}$，
由m=$\frac{y}{x+3}$得y=m（x+3），即mx-y+3m=0，
当直线mx-y+3m=0与半圆在第二象限相切时，m取得最大值（此时m＞0），
则圆心到直线的距离d=$\frac{|3m-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}=2$，
平方得7m²-6m-1=0，
解得m=1或m=-$\frac{1}{7}$（舍），
即$\frac{1}{5}$≤m≤1．
（2）由b=2x+y得y=-2x+b，
平移直线y=-2x+b，由图象知当直线y=-2x+b过B（-2，1）时，直线的截距最小，此时b最小，为b=-4+1=-3，
当直线y=-2x+b即2x+y-b=0与半圆在第一象限相切时，b取得最大值，
圆心到直线的距离d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|b-1|}{\sqrt{5}}=2$，
即|b-1|=2$\sqrt{5}$，
解得b=2$\sqrt{5}$+1或b=-2$\sqrt{5}$+1（舍）
故3≤b≤2$\sqrt{5}$+1．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，利用数形结合以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键．