Question

14．已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点F（$\sqrt{2}$，0）且经过短轴端点的直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用直线的斜率公式，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{2}$，设短轴的端点为（0，-b），
可得$\frac{0-（-b）}{\sqrt{2}-0}$=tan$\frac{π}{4}$=1，解得b=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，则
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
当且仅当$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4时等号成立，
所以|AB|²≥8．
∴线段AB长度的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．