Question

5．已知A 为椭圆上一点，E，F 分别为椭圆的左右焦点，∠EAF=90°，设AE 的延长线交椭圆于B，又|AB|=|AF|，则椭圆的离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用|AB|=|AF|，△AEF，△ABF为直角三角形及椭圆的定义列式求得椭圆的离心率．

解答 解：如图，
设|AF|=m，|AE|=n，
∵|AB|=|AF|，且∠EAF=90°，
∴|BF|=$\sqrt{2}m$，
又|BE|=m-n，
∴$\sqrt{2}m+m-n=2a$，
与m+n=2a联立，可得$m=\frac{4a}{2+\sqrt{2}}，n=\frac{2\sqrt{2}a}{2+\sqrt{2}}$，
代入m²+n²=4c²，
可得$\frac{16{a}^{2}}{（2+\sqrt{2}）^{2}}+\frac{8{a}^{2}}{（2+\sqrt{2}）^{2}}=4{c}^{2}$，
∴$6{a}^{2}=（2+\sqrt{2}）^{2}{c}^{2}$，则${e}^{2}=\frac{6}{（2+\sqrt{2}）^{2}}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}（2-\sqrt{2}）}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的勾股定理、等腰三角形和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，此题是中档题．