题目内容
4．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；
（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．
分析 （1）线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明即可．
解答 
（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC-----------------（1分）
∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB1---------------（2分）
∵BC?平面B1BCC1，BB1?平面B1BCC1，BC∩BB1=B，
∴AD⊥平面B1BCC1，--------------（3分）
∵DC1?面B1BCC1，
∴AD⊥DC1-----------（4分）
（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：
∵O是正方形ACC1A1对角线的交点
∴O为A1C中点
∵D是BC的中点
∴OD∥A1B，且OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1--------------（6分）
∴A1B∥平面ADC1-------------------（7分）
∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，
∴AA1∥DD1，AA1=DD1，
∴四边形AA1D1D是平行四边形
∴AD∥A1D1-----（9分）
∵A1D1?平面ADB1，AD?平面ADB1，
∴A1D1∥平面ADB1---------（10分）
∵A1D1∩A1B=A1，
∴平面ADC1∥平面A1D1B-----------------（12分）
点评 本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．
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