题目内容

15.在区间[1,4]和[2,4]内分别取一个数记为a,b,则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为$\frac{1}{3}$.

分析 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1表示焦点在x轴上的椭圆时(a,b)点对应的平面图形的面积大小和区间[1,4]和[2,4]分别各取一个数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解.

解答 解:若方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1表示焦点在x轴上的椭圆,则a>b
它对应的平面区域如下图中阴影部分所示
则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{矩形}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×2}{3×2}=\frac{1}{3}$;
故答案为:$\frac{1}{3}$.

点评 本题考查了几何概型公式的运用;
几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据公式解答.

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