Question

【题目】现有甲乙丙丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙丙丁中的任何一个人，依此类推.

（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；

（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为an，

（i）求a1,a2,an；

（ii）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲乙丙丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由.

Answer 1

【答案】（1）分布列见详解，数学期望为；（2）(i)；(ii)球落在甲乙丙丁每个人手上的概率相等，都是，理由见详解.

【解析】

（1）根据题意，写出ξ的取值，求得分布列，根据分布列即可写出数学期望；

（2）(i)计算出，推导出与之间的关系，构造等比数列，求得通项公式即可；

(ii)根据的极限，结合每次传球等可能传递的特点，即可进行说明.

（1）由题意得ξ的取值为0，1，2，

P(ξ=0)，

P(ξ=1)，

P(ξ=2)，

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P

∴E(ξ).

（2）(i)由题意可知，，

an，n≥2，

∴an()，(n≥2)，

∴an()×，

∴an.

(ii)由(i)可知，当n→+∞时，an→，

∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，

又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，

∴球落在每个人手上的概率都相等，

∴球落在乙丙丁手上的概率为(1)÷3，

∴随着传球的次数足够多，球落在甲乙丙丁每个人手上的概率相等，都是.