题目内容
【题目】已知函数.(其中常数
,是自然对数的底数)
(1)若,求函数
的极值点个数;
(2)若函数在区间
上不单调,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)求导后,分及
讨论即可得出结论;
(2)结合题意分析可知,由
及
可证
,进而得出结论.
解:(1)易知,
①若,则
,函数
在
上单调递增,
函数
无极值点,即此时极值点个数为0;
②若,易知函数
的图象与
的图象有唯一交点
,
,
,
当
时,
,函数
在
上单调递减,
当,
时,
,函数
在
,
上单调递增,
函数
有较小值点
,即此时函数
的极值点个数为1;
综上所述,当时,函数
的极值点个数为0;
当时,函数
的极值点个数为1;
(2)证明:函数
在区间
上不单调,
存在
为函数
的极值点,
由(1)可知,,且
,即
,
两边取自然对数得,即
,
要证,不妨考虑证
,
又易知,
,即
,
又,
,
,即
,
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校为了解高一新生的体能情况,在入学后不久,组织了一次体能测试,按成绩分为优秀、良好、一般、较差四个档次.现随机抽取120名学生的成绩,其条形图如下:
(1)将优秀、良好、一般归为合格,较差归为不合格,试根据条形图完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生的成绩与性别有关.
合格 | 不合格 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)学校为了解学生以前参加课外活动的情况,利用分层抽样的方法从120名学生中抽取24名学生参加一个座谈会.
①座谈会上抽取2名学生汇报以前参加课外活动的情况,求恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的概率;
②为全面提高学生的体能,学校专门安排专职教师对全校测试成绩较差的学生在课外活动时进行专项训练,通过一段时间的训陈后,测试合格率达到了.若某班有4名学生参加这个专项训陈,求训练后测试合格人数ξ的分布列与数学期望.
附:K2,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】某种植物感染病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗
病毒的制剂,现对
株感染了
病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:
)进行统计规定:植株吸收在
(包括
)以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该
株植株样本进行统计,其中“植株存活”的
株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共
株.
编号 | ||||||||||||||||||||
吸收量 |
(1)完成以下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过
的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?
吸收足量 | 吸收不足量 | 合计 | |
植株存活 | |||
植株死亡 | |||
合计 |
(2)若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取株,求这
株中恰有
株“植株存活”的概率.
参考数据:
,其中