Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）不是，理由见解析

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，对分分类讨论，得出导函数的正负，从而得函数的单调性；

（Ⅱ）当时，得. 由，是函数的两个零点，不妨设，可得 ，两式相减可得： ， 再.

则. 设，，令，. 研究函数在上是増函数，得，可得证.

（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且 ,

（1）当时， ，所以在上单调递增.

（2）当时，由得：，

则当时；当时.

所以在单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；

当 时， 在单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）不是导函数的零点. 证明如下：

当时，.

∵，是函数的两个零点，不妨设，

，两式相减得：

即： ， 又.

则.

设，∵，∴，

令，.

又，∴，∴在上是増 函数，

则，即当时，，从而，

又所以，

故，所以不是导函数的零点.