题目内容

【题目】已知函数.

(Ⅰ)讨论的单调性;

(Ⅱ)当时,令,其导函数为,设是函数的两个零点,判断是否为的零点?并说明理由.

【答案】(Ⅰ)当时,上单调递增;当时,单调递增,在上单调递减. (Ⅱ)不是,理由见解析

【解析】

(Ⅰ)对函数求导,对分类讨论,得出导函数的正负,从而得函数的单调性;

(Ⅱ)当时,得. 由是函数的两个零点,不妨设,可得 ,两式相减可得: .

. ,令. 研究函数上是増函数,得,可得证.

(Ⅰ)依题意知函数的定义域为,且 ,

1)当时, ,所以上单调递增.

2)当时,由得:

则当;当.

所以单调递增,在上单调递减.

综上,当时,上单调递增;

时, 单调递增,在上单调递减.

(Ⅱ)不是导函数的零点. 证明如下:

时,.

是函数的两个零点,不妨设

,两式相减得:

即: .

.

,∵,∴

.

,∴,∴上是増 函数,

,即当时,,从而

所以

,所以不是导函数的零点.

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