题目内容
【题目】已知,
(
且
),函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的图像在点
处的切线的斜率为1,问:
在什么范围取值时,对于任意的
,函数
在区间
上总存在极值?
【答案】(1)答案不唯一,见解析 (2)
【解析】
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出函数的解析式,再对函数求导,根据导函数的正负性分类讨论求出函数的单调区间;
(2)根据函数的图像在点
处的切线的斜率为1,利用导数可以求出
的值,对
进行求导,由函数
在区间
上总存在极值,
问题可以转化为有两个不等实根且至少有一个在区间
内,根据二次方程根的分布进行求解即可.
解:(1)由题意知定义域为
,则
∴当时,函数
的单调增区间是
,单调减区间是
;
当时,函数
的单调增区间是
,单调减区间是
.
(2)由得
,
,
∵函数在区间
上总存在极值,
有两个不等实根且至少有一个在区间
内
又∵函数是开口向上的二次函数,且
,
由得
,
在
上单调递减,
所以;
,由
,解得
;
综上得:所以当
在
内取值时,对于任意
,函数
,在区间
上总存在极值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种植物感染病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗
病毒的制剂,现对
株感染了
病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:
)进行统计规定:植株吸收在
(包括
)以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该
株植株样本进行统计,其中“植株存活”的
株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共
株.
编号 | ||||||||||||||||||||
吸收量 |
(1)完成以下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过
的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?
吸收足量 | 吸收不足量 | 合计 | |
植株存活 | |||
植株死亡 | |||
合计 |
(2)若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取株,求这
株中恰有
株“植株存活”的概率.
参考数据:
,其中
【题目】中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作,获得了安哥拉深海油田区块的开采权,集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后集团按网络点来布置井位来进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用.勘探初期数据资料见下表:
井位 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐标 | ||||||
钻探深度 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量 | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
(1)若16号旧井位置满足线性分布,借助前5组数据所求得的回归直线方程为
,且
,求
,并估计
的预报值;
(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过,1,3,5,7号井计算出的,
的值与(1)中
,
的值的差不超过10%,则使用位置最接近的旧井
,否则在新位置打井,请判断可否使用旧井?(注:其中
的计算结果用四舍五入法保留一位小数)
参考数据:
参考公式: