题目内容
【题目】超级细菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的炎症,高烧,痉挛,昏迷,甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,每个样本取到的可能性相等,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验
次;(2)混合检验,将其中
(
且
)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,则这
份的血液全为阴性,因而这
份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k份再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为
次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中(
且
)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为
,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为
(1)运用概率统计的知识,若,试求关于
的函数关系式
;
(2)若与抗生素计量
相关,其中
是不同的正实数,满足
,对任意的
,都有
(i)证明:为等比数列;
(ii)当时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求
的最大值.
参考数据:,
,
,
,
,
【答案】(1),(
,且
);(2)(i)见解析,(ii)4
【解析】
(1)易知若取份血液样本则
;
的所有可能取值为1,
,根据概率公式可表示出
.结合
,化简即可关于
的函数关系式
;
(2)(i)根据当时
成立,则由数学归纳法即可证明
为等比数列.(ii)根据(i)可得
,
,化简可得
,构造函数
,求得导函数
,可通过
的符号判断函数单调性,结合参考数据,即可求得
的最大值.
(1)由已知得;
的所有可能取值为1,
,
,
.
.
若,
则,
,
,
.
关于k的函数关系式为
,(
,且
).
(2)(i)证明:当时,
,
,令
,则
,
,
下面证明对任意的正整数n,
.
①当,2时,显然成立;
②假设对任意的时,
,下面证明
时,
:
由题意,得,
,
,
,
,
.
或
(负值舍去).
成立.
由①②可知,
为等比数列,
.
(ii)由(i)知,,
,
,得
,
.
设,
,
当
时,
,即
在
上单调减.
又,
,
;
,
,
.
的最大值为4.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校为了解高一新生的体能情况,在入学后不久,组织了一次体能测试,按成绩分为优秀、良好、一般、较差四个档次.现随机抽取120名学生的成绩,其条形图如下:
(1)将优秀、良好、一般归为合格,较差归为不合格,试根据条形图完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生的成绩与性别有关.
合格 | 不合格 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)学校为了解学生以前参加课外活动的情况,利用分层抽样的方法从120名学生中抽取24名学生参加一个座谈会.
①座谈会上抽取2名学生汇报以前参加课外活动的情况,求恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的概率;
②为全面提高学生的体能,学校专门安排专职教师对全校测试成绩较差的学生在课外活动时进行专项训练,通过一段时间的训陈后,测试合格率达到了.若某班有4名学生参加这个专项训陈,求训练后测试合格人数ξ的分布列与数学期望.
附:K2,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |