Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD.

（1）证明：BC⊥平面PDB，

（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）通过证明平面证得，即有，结合，证得平面.

（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得点到平面的距离.

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，

∴PD⊥BC，PD⊥BD，

又AP⊥BD，AP∩PD=P，且AP，PD均在平面APD内，

∴BD⊥平面APD，

又AD在平面APD内，

∴BD⊥AD，

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC⊥BD，

又PD∩BD=D，且都在平面PBD内，

∴BC⊥平面PDB；

（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为∠BPD，故∠BPD=45°，

又AB，∠DAB=45°，

∴，，

∴AP2+PC2=AC2，即AP⊥CP，

∴，，

又VP﹣ABC=VB﹣PAC，

∴，即，解得，

即点B到平面APC的距离为.