Question

【题目】设整数集合,其中 ，且对于任意，若，则

（1）请写出一个满足条件的集合;

（2）证明:任意;

（3）若,求满足条件的集合的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析 （3）16个

【解析】

（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合；

（2）由反证法即可证明；

（3）因为任意的，所以集合中至多5个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出．

（1）答案不唯一． 如；

（2）假设存在一个使得，

令，其中且，

由题意，得，

由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾，

所以任意，．

（3）设集合中有个元素，，

由题意，得，，

由（2）知，．

假设，则．

因为，

由题设条件，得，

因为，

所以由（2）可得，

这与为中不超过的最大元素矛盾，

所以，

又因为，，

所以．

任给集合的元子集，令，

以下证明集合符合题意：

对于任意，则．

若，则有，

所以，，从而．

故集合符合题意，

所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同，

故满足条件的集合有个．