题目内容
【题目】设函数(
为常数).
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)若函数在
内存在唯一极值点
,求实数
的取值范围,并判断
是
在
内的极大值点还是极小值点.
【答案】(1) (2)
,且
为函数
的极小值点.
【解析】
(1)先求出函数的导函数,再求出切线的斜率
,再由直线的点斜式方程求解即可;
(2)函数在
内存在唯一极值点等价于方程
在
内存在唯一解,再构造函数
,求其值域,则可得
的范围,再利用导数确定
是极大值点或者极小值点.
(1)当时,
,
,
所求切线的斜率,又
.
所以曲线在
处的切线方程为:
.
(2),
又,则要使得
在
内存在唯一极值点,则
在
存在唯一变号零点,即方程
在
内存在唯一解,即
与
在
范围内有唯一交点,
设函数,则
,
在
单调递减,又
;当
时,
时,
与
在
范围内有唯一交点,不妨设交点横坐标为
,
当时,
,
,则
,
在
为减函数;当
时,
,则
,
在
为增函数,即
为函数
的极小值点,
综上所述:,且
为函数
的极小值点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】清华大学自主招生考试题中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试,选择A,B,C三题答卷数如下表:
题 | A | B | C |
答卷数 | 180 | 300 | 120 |
(Ⅰ)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷,其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份,则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少份?
(Ⅱ)测试后的统计数据显示,A题的答卷得优的有60份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问中被抽出的选择A题作答的答卷中,记其中得优的份数为,求
的分布列及其数学期望
.