题目内容
【题目】定义:对于任意,满足条件
且
(M是与n无关的常数)的无穷数列
称为M数列.
(1)若等差数列的前
项和为
,且
,判断数列
是否是M数列,并说明理由;
(2)若各项为正数的等比数列的前
项和为
,且
,证明:数列
是M数列,并指出M的取值范围;
(3)设数列,问数列
是否是M数列?请说明理由.
【答案】(1)数列不是M数列,证明见解析;(2)数列
是M数列,证明见解析,M的取值范围为
;(3)当
时,数列
是M数列.
【解析】
(1)由等差数列的性质求等差数列的的公差,然后借助M数列的条件即可判断数列
是否是M数列;
(2)由等比数列的性质求等比数列的公比,求前
项和
,然后借助M数列的条件判断
,
,即可得出结论数列
是M数列,并可得出M的取值范围;
(3)先假设数列是M数列,然后由满足M数列的条件
,
恒成立,去绝对值讨论满足条件的
的取值范围,最后得出答案.
(1) 数列不是M数列,证明如下:
设等差数列的公差为
,则由等差数列的性质可得:
,得
,所以
,则等差数列
是递增等差数列,恒有
,即得数列
无最大值,不满足
,故数列
不是M数列;
(2) 设等比数列的公比为,由题意可得
,所以由
,
,
解得,则
,所以
,
,
,
所以,即
,满足
,
由,且
,满足
,即满足M数列的条件,故数列
是M数列,且M
,所以M的取值范围为
.
(3)若数列是M数列,则满足
,由
可得:,
恒成立,
当时,可得
,
令,由
恒成立,可得:
若,则由
,可得
;
若,则由
,可得
(舍);
若,则由
,可得
(舍),
所以当时,由
可得
,
当时,由
,可得
恒成立,
所以当时,
,
恒成立,
又因为此时恒成立,
综上可得:当时,数列
满足M数列的性质要求,
所以当时,数列
是M数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:元/千克)的频数分布表,如表一所示.
表一:
价格/(元/千克) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) |
种类数 | 4 | 12 | 16 | 6 | 2 |
在调查中,记者还发现,各大品牌在馅料方面还做足了功课,满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽,很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内,记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查,结果如表二.
表二:
喜欢传统馅料粽 | 喜欢特色馅料粽 | 总计 | |
40岁以下 | 30 | 15 | 45 |
40岁及以上 | 50 | 5 | 55 |
总计 | 80 | 20 | 100 |
(1)根据表一估计该商场粽子的平均销售价(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?
参考公式和数据:(其中
为样本容量)
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |