题目内容
【题目】(1)已知,
,求函数
的单调区间和极值;
(2)已知,不等式
(其中
为自然对数的底数)对任意的实数
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间为
,单调增区间为
.极小值
,无极大值.(2)
【解析】
(1)求导得到根据导数的正负得到函数的单调区间,再计算极值得到答案.
(2)变换得到,设
,等价于
即
,
,根据函数的单调性得到最值得到答案.
(1)函数的定义域为,
,由
得,
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数的单调减区间为
,单调增区间为
.
所以当时,
取得极小值
,无极大值.
(2)由得,
,
即,设
,
,
则不等式对于任意的实数
恒成立,等价于
,
由(1)知,函数在区间
上为增函数,
所以,即
对任意的实数
恒成立,
因为,所以
,
即对任意的实数
恒成立,即
.
令,则
,由
得,
,
所以当时,
,函数
在区间
上为减函数,
当时,
,函数
在区间
上为增函数,
所以当时,
取得最小值
.
所以,即
.
又由已知得,所以,实数
的取值范围是
.

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