Question

20．已知递增等差数列{a_n}满足a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n≤50n-200，求正整数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用（2+d）²=2•（2+4d）可知公差d=4，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知问题即为解不等式2n²≤50n-200，计算即得结论．

解答 解：（1）设递增等差数列{a_n}的公差为d（＞0），
∵a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁•a₅，即（2+d）²=2•（2+4d），
整理得：d²=4d，
解得：d=4或d=0（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2+4（n-1）=4n-2；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（2+4n-2）}{2}$=2n²，
∴S_n≤50n-200，即2n²≤50n-200，
解得：5≤n≤20．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．