Question

10．函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是（　　）

• A． 12
• B． 13
• C． 24
• D． 25

Answer 1

分析 函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），可得m+4n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），
∵点P在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+4n=1．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（m+4n）$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$=17+$\frac{4n}{m}+\frac{4m}{n}$≥17+4×2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{m}{n}}$=25，当且仅当m=n=$\frac{1}{5}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．