Question

12．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}-1（0≤x≤4）}\\{5-\frac{1}{2}（4＜x≤10）}\end{array}\right.$．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}$取1.4）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a=4可知y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（0≤x≤4）}\\{20-2x（4＜x≤10）}\end{array}\right.$，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；
（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4≥$8\sqrt{a}$-a-4，再令$8\sqrt{a}$-a-4≥4，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a=4，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（0≤x≤4）}\\{20-2x（4＜x≤10）}\end{array}\right.$，
当0≤x≤4时，由$\frac{64}{8-x}$-4≥4，解得x≥0，
∴此时0≤x≤4；
当4＜x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，
∴此时4＜x≤8；
综上所述，0≤x≤8，
即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；
（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]
=10-x+$\frac{16a}{14-x}$-a
=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4，
∵14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
∴$4\sqrt{a}$∈[4，8]，
∴y=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4≥2$\sqrt{（14-x）•\frac{16a}{14-x}}$-a-4=$8\sqrt{a}$-a-4，
当且仅当14-x=$\frac{16a}{14-x}$即x=14-4$\sqrt{a}$时，y有最小值为$8\sqrt{a}$-a-4，
令$8\sqrt{a}$-a-4≥4，解得24-16$\sqrt{2}$≤a≤4，
∴a的最小值为24-16$\sqrt{2}$≈1.6．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．