题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
底面，
，
是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）若点
在线段
（不包含端点）上，且直线
平面
，求线段
的长.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
【解析】
（1）建立以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴、
轴、
轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；
（2）求出平面
的一个法向量，平面
的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；
（3）假设棱
上存在点
，使
平面
，由
求解即可.
证明：（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
则
，
，
，
设
是平面的一个法向量，
则由
，得
，取
，得
.
，
，
又
平面，
平面.
（2）解：由（1）知是平面的一个法向量，
又
是平面的一个法向量.
设二面角
的平面角为
，由图可知
，
,
故二面角的平面角的余弦值为.
（3）假设棱上存在点，使平面，
设
，
则
，
，
，
，
由得
，
解得
，
，
则
.
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【题目】下表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入
（单位：万元）的数据如下表：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年纯收入 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
（1）求关于
的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入（结果精确到0.1）。
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
。
