题目内容
【题目】如图，梯形
中，
，矩形
所在的平面与平面垂直，且
.
（Ⅰ）求证：平面
平面；
（Ⅱ）若
为线段
上一点，直线
与平面
所成的角为
，求的最大值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
.
【解析】
试题
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得
平面
，结合面面垂直的判断定理可得平面
平面.
(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得
.
试题解析：
（Ⅰ）证明：如图，取
的中点
，连接
，
则
，所以
，从而四边形
为平行四边形，
所以
，从而
.
又因为平面
平面且平面
平面
，
所以平面.又
平面
，
所以平面平面.
（Ⅱ）解：由于是矩形，所以
，
由（Ⅰ）知：平面，
以
为坐标原点，分别以
为
的正方向建立空间直角坐标系
，
各点坐标如下：
，
，
，
，设点
，
平面
的法向量为
，
则
，
，
令
，得平面的一个法向量为
，
所以
，
当
时，
，从而.
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