题目内容
【题目】已知函数,,记
(1)证明:有且仅有一个零点;
(2)记的零点为,,若在内有两个不等实根,判断与的大小,并给出对应的证明.
【答案】(1)见证明;(2),证明见解析
【解析】
(1)的零点个数的零点个数,故只需求的单调性,并利用零点存在性定理得到有且仅有唯一零点,从而得证;
(2)本题实质是极点偏移,先根据(1)和题设得到,再确定,,然后用分析法给出证明,要证:,即证,而在上递减,故可证:,又,故即证,即证,接着构造函数,证明其单调性,从而得到结果.
(1)证明:的零点个数的零点个数,
故要证明有且仅有一个零点,即证明有且仅有一个零点.
∵,即在上单增,
又,,
由零点存在性定理知:在上有且仅有唯一零点,
即在上有且仅有一个零点;
(2),当时,,
由(1)知存在使,
故时,;当时,,
因而.
显然当时,,因而在上单增;
当时,,.
因而在上递减;
若在有两个不等实根,,则,,
显然当时,,
而用分析法给出证明,要证:,即证,
而在上递减,故可证:
,又,
故即证,即证.
记,则,
故即证,而,记,
则,,
当时,;时,,
故,
故当时,,
故在上单增,从而当时,,
故得证.
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