题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若在
上的最大值为
,求实数b的值;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],都有恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)存在
【解析】
试题(1)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.知道函数的最值时,要先求函数在区间
内使
的点,再计算函数
在区间内所有使
的点和区间端点处的函数值,最后比较即得;(2)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:(1)
,(2)
;(3)对于是否存在问题先假设存在,如推出矛盾则不存在,若不矛盾则存在
试题解析:(Ⅰ)解:由,得得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f′(x)=0,得x=0或
当x变化时(Ⅰ)若在
上的最大值为
,求实数b的值列表如下:
x | 0 | |||||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
即最大值为
(2)由,得
且等号不能同时取得,
,即
恒成立,即
令,则
当,从而
在
上为增函数,
(3)由条件
假设曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q满足题意,则P,Q只能在y轴的两侧,不妨设则
,
是以
是坐标原点)为直角顶点的直角三角形,
是否存在
等价于该方程t>0且
是否有根
当时,方程可化为
化简得
此方程无解;
若时,方程
即
设
,显然,当
时
,即
在
上是增函数,
值域是
,即
,所以当
时方程总有解,即对于任意正实数a曲线y=F(x)上总存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.
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【题目】已知圆的圆心
的坐标为
,且圆
与直线
:
相切,过点
的动直线
与圆
相交于
,
两点,直线
与直线
的交点为
.
(1)求圆的标准方程;
(2)求的最小值;
(3)问:是否是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由
年底的
下降到
年底的
,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,
年至
年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于
的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析
年至
年贫困发生率
与年份代码
的相关情况,并预测
年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(
的值保留到小数点后三位)